$n$ が自然数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n$ を $n$ の簡単な式で表す。

1. 問題の内容

$n$ が自然数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n$ を $n$ の簡単な式で表す。

2. 解き方の手順

二項定理を利用する。

二項定理とは、任意の自然数 $n$ に対して、

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k}b^k = {}_nC_0 a^n + {}_nC_1 a^{n-1}b + \dots + {}_nC_n b^n$$

が成り立つ、というものである。

この式に $a=1$, $b=1$ を代入すると、

$$(1+1)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k 1^{n-k}1^k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n$$

したがって、

$$2^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n$$

となる。

3. 最終的な答え

$2^n$