数列$\{a_n\}$は等差数列であり、$a_2 = 3$, $a_3 + a_4 = 12$である。また、数列$\{b_n\}$は公比が実数の等比数列であり、$b_1 + b_2 = 2$, $b_4 + b_5 = -16$である。 (1) 数列$\{a_n\}$の初項と公差を求める。 (2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表し、$|b_n| > 2019$を満たす最小の自然数$n$を$N$とするとき、$N$の値を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$は等差数列であり、$a_2 = 3$, $a_3 + a_4 = 12$である。また、数列$\{b_n\}$は公比が実数の等比数列であり、$b_1 + b_2 = 2$, $b_4 + b_5 = -16$である。

(1) 数列$\{a_n\}$の初項と公差を求める。

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表し、$|b_n| > 2019$を満たす最小の自然数$n$を$N$とするとき、$N$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$は等差数列なので、初項を$a$, 公差を$d$とすると、

$a_n = a + (n-1)d$と表せる。

$a_2 = a + d = 3$ ...(1)

$a_3 + a_4 = (a + 2d) + (a + 3d) = 2a + 5d = 12$ ...(2)

(2) - (1) $\times 2$より、

$3d = 6$

$d = 2$

これを(1)に代入して、$a + 2 = 3$, よって、$a = 1$

したがって、初項は1、公差は2。

(2) 数列$\{b_n\}$は等比数列なので、初項を$b$, 公比を$r$とすると、

$b_n = br^{n-1}$と表せる。

$b_1 + b_2 = b + br = b(1+r) = 2$ ...(3)

$b_4 + b_5 = br^3 + br^4 = br^3(1+r) = -16$ ...(4)

(4) / (3)より、

$\frac{br^3(1+r)}{b(1+r)} = \frac{-16}{2}$

$r^3 = -8$

$r = -2$

これを(3)に代入して、$b(1 - 2) = -b = 2$, よって、$b = -2$

したがって、$b_n = -2 \times (-2)^{n-1} = -(-2)^n = (-1)^{n+1} 2^n$

$|b_n| = |(-1)^{n+1} 2^n| = 2^n$

$|b_n| > 2019$を満たす最小の$n$を求めたいので、$2^n > 2019$

$2^{10} = 1024$

$2^{11} = 2048$

したがって、$n = 11$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 1, 公差: 2

(2) $b_n = (-1)^{n+1} 2^n$, $N = 11$