数列 $\{a_n\}$ は等差数列で、$a_5 = 33$ を満たします。数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列で、$b_1 + b_2 = 6$、$b_5 + b_6 = 96$ を満たします。数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表してください。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表してください。また、$S_n$ を $n$ を用いて表してください。 (3) $a_n$ を3で割った余りを $c_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とし、$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1 - c_k) S_k$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、$T_n$ を $n$ を用いて表してください。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等差数列で、$a_5 = 33$ を満たします。数列 $\{b_n\}$ は公比が正の等比数列で、$b_1 + b_2 = 6$、$b_5 + b_6 = 96$ を満たします。数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表してください。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表してください。また、$S_n$ を $n$ を用いて表してください。

(3) $a_n$ を3で割った余りを $c_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とし、$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1 - c_k) S_k$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、$T_n$ を $n$ を用いて表してください。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$、公差を $d$ とすると、

$a_n = a + (n - 1)d$ と表せます。

$a_5 = a + 4d = 33$ ... (1)

また、数列 $\{a_n\}$ の公差は7と書いてあるので、$d = 7$

(1)に代入すると $a + 4(7) = 33$ より $a = 5$。

したがって、$a_n = 5 + (n - 1)7 = 7n - 2$

(2) 等比数列 $\{b_n\}$ の初項を $b$、公比を $r$ とすると、

$b_n = br^{n-1}$ と表せます。

$b_1 + b_2 = b + br = b(1 + r) = 6$ ... (2)

$b_5 + b_6 = br^4 + br^5 = br^4(1 + r) = 96$ ... (3)

(3) ÷ (2) より $\frac{br^4(1 + r)}{b(1 + r)} = \frac{96}{6}$

$r^4 = 16$

$r$ は正なので、$r = 2$

(2)に代入すると $b(1 + 2) = 6$ より $b = 2$

したがって、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$

(3) $a_n = 7n - 2$ を 3 で割った余り $c_n$ を考えます。

$a_n \equiv 7n - 2 \pmod{3}$

$a_n \equiv n - 2 \pmod{3}$

$c_n$ は $n \equiv 1, 2, 0 \pmod{3}$ に対して $c_n = 2, 0, 1$ を繰り返します。

$T_n = \sum_{k=1}^{3n} (1 - c_k) S_k$ を求めます。

$n = 3m, 3m+1, 3m+2$ で場合分けして計算します。$S_k = 2^{k+1} - 2$であることに注意してください。

$k \pmod{3} \equiv 1, 2, 0$ に対して $c_k = 2, 0, 1$ なので、$1 - c_k = -1, 1, 0$ となります。

$n = 3m$ のとき、

$\sum_{k=1}^{3m} (1-c_k) S_k = \sum_{i=0}^{m-1} (-S_{3i+1} + S_{3i+2} + 0S_{3i+3})$

$= \sum_{i=0}^{m-1} (-2^{3i+2} + 2 + 2^{3i+3} - 2) = \sum_{i=0}^{m-1} (2^{3i+3} - 2^{3i+2}) = \sum_{i=0}^{m-1} 2^{3i+2}(2-1) = \sum_{i=0}^{m-1} 2^{3i+2}$

$= 4 \sum_{i=0}^{m-1} 8^i = 4 \cdot \frac{8^m - 1}{8 - 1} = \frac{4}{7}(8^m - 1) = \frac{4}{7}(8^{n/3} - 1)$

$n = 3m + 1$ のとき、

$\sum_{k=1}^{3m+1} (1-c_k) S_k = \sum_{k=1}^{3m} (1-c_k) S_k + (1 - c_{3m+1})S_{3m+1} = \frac{4}{7}(8^m - 1) + (-1)(2^{3m+2} - 2) = \frac{4}{7}(8^m - 1) - 2^{3m+2} + 2$

$= \frac{4}{7}(8^m - 1) - 4 \cdot 8^m + 2 = (\frac{4}{7} - 4)8^m - \frac{4}{7} + 2 = -\frac{24}{7} 8^m + \frac{10}{7} = -\frac{24}{7}8^{(n-1)/3} + \frac{10}{7}$

$n = 3m + 2$ のとき、

$\sum_{k=1}^{3m+2} (1-c_k) S_k = \sum_{k=1}^{3m+1} (1-c_k) S_k + (1 - c_{3m+2})S_{3m+2} = -\frac{24}{7}8^m + \frac{10}{7} + (1)(2^{3m+3} - 2)$

$= -\frac{24}{7}8^m + \frac{10}{7} + 8 \cdot 8^m - 2 = (\frac{56 - 24}{7})8^m + \frac{10 - 14}{7} = \frac{32}{7} 8^m - \frac{4}{7} = \frac{32}{7} 8^{(n-2)/3} - \frac{4}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 7n - 2$

(2) $b_n = 2^n$, $S_n = 2^{n+1} - 2$

(3)

$T_n = \begin{cases}

\frac{4}{7}(8^{n/3} - 1) & (n \equiv 0 \pmod{3}) \\

-\frac{24}{7}8^{(n-1)/3} + \frac{10}{7} & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\

\frac{32}{7} 8^{(n-2)/3} - \frac{4}{7} & (n \equiv 2 \pmod{3})

\end{cases}$