数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_2 = 3$、$a_3 + a_4 = 12$ である。数列 $\{b_n\}$ は等比数列であり、$b_1 + b_2 = 2$、$b_4 + b_5 = -16$ である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求める。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表し、$|b_n| > 2019$ を満たす最小の自然数 $n$ を $N$ とする。$N$ の値を求める。 (3) (2)の $N$ の値に対して、$\sum_{k=1}^{N} |a_k + b_k|$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_2 = 3$、$a_3 + a_4 = 12$ である。数列 $\{b_n\}$ は等比数列であり、$b_1 + b_2 = 2$、$b_4 + b_5 = -16$ である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求める。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表し、$|b_n| > 2019$ を満たす最小の自然数 $n$ を $N$ とする。$N$ の値を求める。

(3) (2)の $N$ の値に対して、$\sum_{k=1}^{N} |a_k + b_k|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ について

$a_2 = 3$ であるから、$a_1 + d = 3$ （$d$ は公差）

$a_3 + a_4 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 2a_1 + 5d = 12$

連立方程式

$a_1 + d = 3$

$2a_1 + 5d = 12$

を解く。1つ目の式を2倍して2つ目の式から引くと、

$3d = 6$ より $d = 2$

$a_1 = 3 - d = 3 - 2 = 1$

(2) 数列 $\{b_n\}$ について

$b_1 + b_2 = b_1 + b_1r = b_1(1+r) = 2$ ($r$ は公比)

$b_4 + b_5 = b_1r^3 + b_1r^4 = b_1r^3(1+r) = -16$

$\frac{b_1r^3(1+r)}{b_1(1+r)} = \frac{-16}{2}$

$r^3 = -8$

$r = -2$

$b_1(1 + (-2)) = 2$

$b_1(-1) = 2$

$b_1 = -2$

よって、$b_n = b_1 r^{n-1} = -2(-2)^{n-1} = (-2)^n$

$|b_n| = |-2|^n = 2^n$

$2^n > 2019$ を満たす最小の $n$ を求める。

$2^{10} = 1024$

$2^{11} = 2048$

よって、$N = 11$

(3) $\sum_{k=1}^{11} |a_k + b_k|$ の値を求める。

$a_k = a_1 + (k-1)d = 1 + (k-1)2 = 2k - 1$

$b_k = (-2)^k$

$\sum_{k=1}^{11} |2k - 1 + (-2)^k| = |1-2| + |3+4| + |5-8| + |7+16| + |9-32| + |11+64| + |13-128| + |15+256| + |17-512| + |19+1024| + |21-2048|$

$= 1 + 7 + 3 + 23 + 23 + 75 + 115 + 271 + 495 + 1043 + 2027 = 4183$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 1, 公差: 2

(2) $b_n = (-2)^n$, $N = 11$

(3) $\sum_{k=1}^{11} |a_k + b_k| = 4183$