6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って5桁の数を作る。 (1) 各桁の数字が異なるとき、奇数は何個作れるか。 (2) 各桁の数字に重複を許すとき、偶数は何個作れるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って5桁の数を作る。

(1) 各桁の数字が異なるとき、奇数は何個作れるか。

(2) 各桁の数字に重複を許すとき、偶数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 各桁の数字が異なるとき、奇数の個数を求める。

5桁の数を $\boxed{\quad} \boxed{\quad} \boxed{\quad} \boxed{\quad} \boxed{\quad}$ のように表す。

一の位が奇数である必要がある。一の位に入る数字は1, 3, 5のいずれかなので、3通りである。

次に、一万の位を考える。一万の位には0は入らない。

一の位に奇数を一つ入れたので、残りの数字は5個である。ただし、一万の位には0は入れないので、0が入らない場合は5通り、0が入る場合は4通りとなる。場合分けが必要である。

(i) 一万の位が0でないとき:

一の位は奇数の1, 3, 5のいずれかであり、3通り。

一万の位は0以外の数字なので、4通り。

千の位は、残りの数字から2つを除いた4通り。

百の位は、残りの数字から3つを除いた3通り。

十の位は、残りの数字から4つを除いた2通り。

よって、 $4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 3 = 288$ 通り。

(ii) 一万の位が0のとき、一万の位に0は入らないので、ありえない。

したがって、奇数の個数は288個である。

(2) 各桁の数字に重複を許すとき、偶数の個数を求める。

5桁の数を $\boxed{\quad} \boxed{\quad} \boxed{\quad} \boxed{\quad} \boxed{\quad}$ のように表す。

一の位が偶数である必要がある。一の位に入る数字は0, 2, 4のいずれかなので、3通りである。

一万の位は0以外の数字なので、5通り。

千の位は6通り。

百の位は6通り。

十の位は6通り。

よって、 $5 \times 6 \times 6 \times 6 \times 3 = 3240$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 288個

(2) 3240個