袋の中に番号のついた赤玉が2個（①, ②）、白玉が5個（①, ②, ③, ④, ⑤）入っている。袋から玉を1個取り出すとき、取り出した玉が白玉であるという事象をA、取り出した玉が偶数であるという事象をBとする。条件付き確率 $P_A(B)$ と $P_B(A)$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に番号のついた赤玉が2個（①, ②）、白玉が5個（①, ②, ③, ④, ⑤）入っている。袋から玉を1個取り出すとき、取り出した玉が白玉であるという事象をA、取り出した玉が偶数であるという事象をBとする。条件付き確率 $P_A(B)$ と $P_B(A)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 条件付き確率 $P_A(B)$ を求める。

$P_A(B)$ は、事象A（白玉が出る）が起こったという条件の下で、事象B（偶数が出る）が起こる確率である。

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$P(A)$ は白玉が出る確率である。袋の中には全部で7個の玉があり、そのうち白玉は5個なので、$P(A) = \frac{5}{7}$

$P(A \cap B)$ は白玉でかつ偶数である確率である。白玉で偶数の玉は②, ④の2個なので、$P(A \cap B) = \frac{2}{7}$

したがって、$P_A(B) = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{5}{7}} = \frac{2}{5}$

(2) 条件付き確率 $P_B(A)$ を求める。

$P_B(A)$ は、事象B（偶数が出る）が起こったという条件の下で、事象A（白玉が出る）が起こる確率である。

$P_B(A) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)}$

$P(B)$ は偶数の玉が出る確率である。偶数の玉は②(赤), ②(白), ④(白)の3個なので、$P(B) = \frac{3}{7}$

$P(B \cap A)$ は偶数でかつ白玉である確率である。偶数で白玉の玉は②, ④の2個なので、$P(B \cap A) = \frac{2}{7}$

したがって、$P_B(A) = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $P_A(B) = \frac{2}{5}$

(2) $P_B(A) = \frac{2}{3}$