AとBの2人が試合を繰り返し行い、先に3勝した方が優勝とする。引き分けはなく、AがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$である。 (1) 4試合目でAが優勝する確率を求めよ。 (2) Aが優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2人が試合を繰り返し行い、先に3勝した方が優勝とする。引き分けはなく、AがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$である。

(1) 4試合目でAが優勝する確率を求めよ。

(2) Aが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4試合目でAが優勝するためには、4試合目にAが勝ち、かつ最初の3試合でAが2勝する必要がある。最初の3試合でAが2勝1敗となる確率は、組み合わせを考慮して${}_3 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^1$である。よって、4試合目でAが優勝する確率は、

${}_3 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^1 \times \frac{2}{3}$

で求められる。

(2) Aが優勝する場合、3試合目、4試合目、5試合目のいずれかでAが優勝する。

* 3試合目でAが優勝する場合: Aが3連勝する必要があるので、その確率は $(\frac{2}{3})^3$

* 4試合目でAが優勝する場合：(1)で求めたように、${}_3 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^1 \times \frac{2}{3}$

* 5試合目でAが優勝する場合：最初の4試合でAが2勝2敗となり、5試合目にAが勝つ必要がある。最初の4試合でAが2勝2敗となる確率は、${}_4 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2$。したがって、5試合目でAが優勝する確率は${}_4 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3}$

これら3つの場合を足し合わせることで、Aが優勝する確率が求められる。

3. 最終的な答え

(1) 4試合目でAが優勝する確率は、

${}_3 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^1 \times \frac{2}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

(2) Aが優勝する確率は、

$(\frac{2}{3})^3 + {}_3 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^1 \times \frac{2}{3} + {}_4 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27} + 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27} + \frac{24}{81} + \frac{48}{243} = \frac{8}{27} + \frac{8}{27} + \frac{16}{81} = \frac{24}{81} + \frac{24}{81} + \frac{16}{81} = \frac{64}{81}$

(1) $\frac{8}{27}$

(2) $\frac{64}{81}$