1が書かれたカードが2枚、2が書かれたカードが1枚、3が書かれたカードが1枚、4が書かれたカードが1枚の計5枚のカードがある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求めよ。

1. 問題の内容

1が書かれたカードが2枚、2が書かれたカードが1枚、3が書かれたカードが1枚、4が書かれたカードが1枚の計5枚のカードがある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2枚のカードの引き方の総数を求める。これは、5枚のカードから2枚を選ぶ順列なので、 $5 \times 4 = 20$ 通りである。

次に、$X$ の取りうる値を考える。2枚引くので、偶数のカードを引く回数は0回、1回、2回のいずれかである。

それぞれの確率を計算する。

* $X = 0$ のとき（2枚とも奇数）：奇数のカードは1と3なので、2枚のカードが (1, 1), (1, 3), (3, 1) のいずれか。

* (1, 1)は、$2 \times 1 = 2$ 通り

* (1, 3)は、$2 \times 1 = 2$ 通り

* (3, 1)は、$1 \times 2 = 2$ 通り

* よって、合計 $2+2+2 = 6$ 通り

* 確率は、 $P(X=0) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

* $X = 1$ のとき（1枚が偶数、1枚が奇数）：

* (偶数, 奇数) の場合：偶数のカードは2と4なので、 (2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3)

* (2, 1)は、$1 \times 2 = 2$ 通り

* (2, 3)は、$1 \times 1 = 1$ 通り

* (4, 1)は、$1 \times 2 = 2$ 通り

* (4, 3)は、$1 \times 1 = 1$ 通り

* (奇数, 偶数) の場合：(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)

* (1, 2)は、$2 \times 1 = 2$ 通り

* (1, 4)は、$2 \times 1 = 2$ 通り

* (3, 2)は、$1 \times 1 = 1$ 通り

* (3, 4)は、$1 \times 1 = 1$ 通り

* よって、合計 $2+1+2+1+2+2+1+1=12$ 通り

* 確率は、 $P(X=1) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

* $X = 2$ のとき（2枚とも偶数）：2枚のカードが (2, 4), (4, 2) のいずれか。

* (2, 4)は、$1 \times 1 = 1$ 通り

* (4, 2)は、$1 \times 1 = 1$ 通り

* よって、合計 $1 + 1 = 2$ 通り

* 確率は、 $P(X=2) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

3. 最終的な答え

$P(X=0) = \frac{3}{10}$

$P(X=1) = \frac{3}{5}$

$P(X=2) = \frac{1}{10}$