大小2つのサイコロを同時に投げ、大きいサイコロの目を $x$、小さいサイコロの目を $y$ とする。平面上に2点 $A(x, 0)$, $B(0, y)$ を取る。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\triangle OAB$ のすべての組み合わせの数 (2) $\triangle OAB$ が直角二等辺三角形となる確率 (3) 平面上の2点 $P(8, 0), Q(0, 4)$ に対して、$\triangle OAB$ が $\triangle OPQ$ と相似な三角形となる確率 (4) $\triangle OAB$ の面積が 4 cm$^2$ より小さくなる確率

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げ、大きいサイコロの目を $x$、小さいサイコロの目を $y$ とする。平面上に2点 $A(x, 0)$, $B(0, y)$ を取る。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\triangle OAB$ のすべての組み合わせの数

(2) $\triangle OAB$ が直角二等辺三角形となる確率

(3) 平面上の2点 $P(8, 0), Q(0, 4)$ に対して、$\triangle OAB$ が $\triangle OPQ$ と相似な三角形となる確率

(4) $\triangle OAB$ の面積が 4 cm$^2$ より小さくなる確率

2. 解き方の手順

(1)

大きいサイコロの目は1から6までの6通り、小さいサイコロの目も1から6までの6通りである。それぞれのサイコロの目は独立であるため、$\triangle OAB$ のすべての組み合わせの数は $6 \times 6$ で求められる。

(2)

$\triangle OAB$ が直角二等辺三角形となるためには、$OA = OB$ である必要があるので、$x = y$ でなければならない。

大きいサイコロの目と小さいサイコロの目が等しくなるのは、(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) の6通りである。

$\triangle OAB$ のすべての組み合わせの数は(1)より36通りなので、$\triangle OAB$ が直角二等辺三角形となる確率は $\frac{6}{36}$ となる。

(3)

$\triangle OAB$ と $\triangle OPQ$ が相似になる条件を考える。

$\triangle OPQ$ は直角三角形であり、$OP = 8$, $OQ = 4$ である。

$\triangle OAB$ が $\triangle OPQ$ と相似になるためには、

(i) $\frac{OA}{OP} = \frac{OB}{OQ}$ つまり $\frac{x}{8} = \frac{y}{4}$ の場合。このとき $y = \frac{x}{2}$ である。

(ii) $\frac{OA}{OQ} = \frac{OB}{OP}$ つまり $\frac{x}{4} = \frac{y}{8}$ の場合。このとき $y = 2x$ である。

それぞれの条件を満たす場合の数を求める。

(i) $y = \frac{x}{2}$ を満たす $(x, y)$ の組み合わせは、(2, 1), (4, 2), (6, 3) の3通り。

(ii) $y = 2x$ を満たす $(x, y)$ の組み合わせは、(1, 2), (2, 4), (3, 6) の3通り。

したがって、$\triangle OAB$ が $\triangle OPQ$ と相似になる組み合わせは3 + 3 = 6通りである。確率は $\frac{6}{36}$ となる。

(4)

$\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2}xy$ で求められる。

面積が4 cm$^2$ より小さくなる条件は $\frac{1}{2}xy < 4$ 、つまり $xy < 8$ である。

$xy < 8$ となる $(x, y)$ の組み合わせを考える。

x = 1 のとき、y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6通り)

x = 2 のとき、y = 1, 2, 3 (3通り)

x = 3 のとき、y = 1, 2 (2通り)

x = 4 のとき、y = 1 (1通り)

x = 5 のとき、y = 1 (1通り)

x = 6 のとき、y = 1 (1通り)

合計で6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14通りである。

したがって、$\triangle OAB$ の面積が4 cm$^2$ より小さくなる確率は $\frac{14}{36}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $\frac{1}{6}$

(4) $\frac{7}{18}$