平面上に2点A(1,1), B(6,6)があります。大小2つのサイコロを同時に投げて、大きいサイコロの目をx、小さいサイコロの目をyとするとき、点C(x,y)をとります。以下の問いに答えてください。 (1) 点Cの取りうる場合の数を求めよ。 (2) $x > y$ である確率を求めよ。 (3) 3点A, B, Cを結んで三角形ができない確率を求めよ。 (4) グラフの1目盛りを1cmとしたとき、三角形ABCの面積が5cm^2である確率を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

平面上に2点A(1,1), B(6,6)があります。大小2つのサイコロを同時に投げて、大きいサイコロの目をx、小さいサイコロの目をyとするとき、点C(x,y)をとります。以下の問いに答えてください。

(1) 点Cの取りうる場合の数を求めよ。

(2) $x > y$ である確率を求めよ。

(3) 3点A, B, Cを結んで三角形ができない確率を求めよ。

(4) グラフの1目盛りを1cmとしたとき、三角形ABCの面積が5cm^2である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

x, y はそれぞれサイコロの目なので、1から6までの整数を取りえます。

xもyもそれぞれ6通りの値を取りうるので、点C(x, y)の取りうる場合の数は、$6 \times 6 = 36$通りです。

(2)

$x > y$となる場合の数を数えます。

x = 2のとき、y = 1 (1通り)

x = 3のとき、y = 1, 2 (2通り)

x = 4のとき、y = 1, 2, 3 (3通り)

x = 5のとき、y = 1, 2, 3, 4 (4通り)

x = 6のとき、y = 1, 2, 3, 4, 5 (5通り)

合計で$1+2+3+4+5 = 15$通りです。

確率は、$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$です。

(3)

3点A, B, Cが一直線上にあるとき、三角形を作ることができません。

直線ABの式は、$y = x$です。

点C(x, y)がこの直線上にあるのは、$x = y$のときです。

$x=y$となる場合の数は、(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)の6通りです。

したがって、三角形ができない確率は、$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$です。

(4)

3点A(1,1), B(6,6), C(x,y)で三角形ABCの面積が5となる確率を求めます。

三角形の面積の公式から、$S = \frac{1}{2} | (x_A-x_C)(y_B-y_A) - (x_A-x_B)(y_C-y_A) |$となります。

これをA(1,1), B(6,6), C(x,y)で計算すると、$S = \frac{1}{2} | (1-x)(6-1) - (1-6)(y-1) | = \frac{1}{2} | 5 - 5x + 5y - 5 | = \frac{5}{2}|y-x|$となります。

$S = 5$となるのは、$\frac{5}{2}|y-x| = 5$より、$|y-x| = 2$となるときです。

つまり、$y-x = 2$または$y-x = -2$となるときです。

$y-x=2$の場合：

x = 1のとき、y = 3 (1通り)

x = 2のとき、y = 4 (1通り)

x = 3のとき、y = 5 (1通り)

x = 4のとき、y = 6 (1通り)

$y-x=-2$の場合：

x = 3のとき、y = 1 (1通り)

x = 4のとき、y = 2 (1通り)

x = 5のとき、y = 3 (1通り)

x = 6のとき、y = 4 (1通り)

合計で8通りなので、確率は$\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$です。

3. 最終的な答え

(1) 36通り

(2) $\frac{5}{12}$

(3) $\frac{1}{6}$

(4) $\frac{2}{9}$