大小2つのサイコロを投げ、大きいサイコロの目を$a$、小さいサイコロの目を$b$とする。点Pの座標を$(a,b)$とし、原点Oと点Pを通る直線OPを引く。 (1) 点P$(a,b)$の取り方は全部で何通りあるか。 (2) 大きいサイコロの目が4、小さいサイコロの目が2のとき、直線OPの方程式を求めよ。 (3) 直線OPの方程式が$y=2x$となるような点Pの座標をすべて求めよ。また、そのときの確率を求めよ。 (4) 直線OPの傾きが1より大きくなる確率を求めよ。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを投げ、大きいサイコロの目を$a$、小さいサイコロの目を$b$とする。点Pの座標を$(a,b)$とし、原点Oと点Pを通る直線OPを引く。

(1) 点P$(a,b)$の取り方は全部で何通りあるか。

(2) 大きいサイコロの目が4、小さいサイコロの目が2のとき、直線OPの方程式を求めよ。

(3) 直線OPの方程式が$y=2x$となるような点Pの座標をすべて求めよ。また、そのときの確率を求めよ。

(4) 直線OPの傾きが1より大きくなる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 大きいサイコロの目は1から6の6通り、小さいサイコロの目も1から6の6通りなので、点P$(a,b)$の取り方は$6 \times 6$通りである。

(2) 点Pの座標は(4, 2)である。原点O(0, 0)と点P(4, 2)を通る直線の方程式を求める。傾きは$\frac{2-0}{4-0} = \frac{1}{2}$なので、$y = \frac{1}{2}x$となる。

(3) 直線OPの方程式が$y=2x$となるような点Pの座標$(a,b)$は、$b=2a$を満たす。$a$と$b$は1から6の整数なので、$a=1, b=2$, $a=2, b=4$, $a=3, b=6$となる。したがって、点Pの座標は(1, 2), (2, 4), (3, 6)である。

全事象は36通りなので、確率は$\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$となる。

(4) 直線OPの傾きが1より大きくなるのは、$\frac{b}{a} > 1$、つまり$b > a$となる場合である。

$a = 1$のとき、$b = 2, 3, 4, 5, 6$の5通り。

$a = 2$のとき、$b = 3, 4, 5, 6$の4通り。

$a = 3$のとき、$b = 4, 5, 6$の3通り。

$a = 4$のとき、$b = 5, 6$の2通り。

$a = 5$のとき、$b = 6$の1通り。

$a = 6$のとき、$b$は存在しない。

合計で$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$通り。

確率は$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$となる。

3. 最終的な答え

(1) 36通り

(2) $y = \frac{1}{2}x$

(3) (1, 2), (2, 4), (3, 6)、確率: $\frac{1}{12}$

(4) $\frac{5}{12}$