正五角形ABCDEの頂点Aに石Sがあり、サイコロを振って出た目の数だけA→B→C→D→E→A→…と石を動かす。 (1) サイコロを1回投げたとき、石Sが頂点Dにくる確率と頂点Bにくる確率を求める。 (2) サイコロを2回投げたとき、石Sが頂点Aにくるのは、出た目の数の和がいくらのときか。また、その確率を求める。 (3) サイコロを2回投げたとき、石Sがくる確率が最も高い頂点はどれか。また、その確率を求める。

1. 問題の内容

正五角形ABCDEの頂点Aに石Sがあり、サイコロを振って出た目の数だけA→B→C→D→E→A→…と石を動かす。

(1) サイコロを1回投げたとき、石Sが頂点Dにくる確率と頂点Bにくる確率を求める。

(2) サイコロを2回投げたとき、石Sが頂点Aにくるのは、出た目の数の和がいくらのときか。また、その確率を求める。

(3) サイコロを2回投げたとき、石Sがくる確率が最も高い頂点はどれか。また、その確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

サイコロの目は1から6まである。

石Sが頂点Dにくるためには、サイコロの目が3である必要がある。

したがって、頂点Dにくる確率は $1/6$。

石Sが頂点Bにくるためには、サイコロの目が1である必要がある。

したがって、頂点Bにくる確率は $1/6$。

(2)

石Sが頂点Aに戻るには、出た目の和が5の倍数である必要がある。

サイコロを2回投げた時の目の和は2から12まで。

したがって、出た目の和が5または10のとき、石Sは頂点Aに戻る。

和が5になる組み合わせは(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)の4通り。

和が10になる組み合わせは(4,6),(5,5),(6,4)の3通り。

したがって、合計7通りの組み合わせで頂点Aに戻る。

サイコロを2回投げた時の目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通り。

よって、石Sが頂点Aに戻る確率は $7/36$。

(3)

サイコロを2回投げた時、各頂点に石Sがくる確率を計算する。

- 頂点A: 和が5または10の時。確率は $7/36$。

- 頂点B: 和が1または6または11の時。

和が1になる組み合わせはない。

和が6になる組み合わせは(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)の5通り。

和が11になる組み合わせは(5,6),(6,5)の2通り。

確率は $7/36$。

- 頂点C: 和が2または7または12の時。

和が2になる組み合わせは(1,1)の1通り。

和が7になる組み合わせは(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)の6通り。

和が12になる組み合わせは(6,6)の1通り。

確率は $8/36 = 2/9$。

- 頂点D: 和が3または8の時。

和が3になる組み合わせは(1,2),(2,1)の2通り。

和が8になる組み合わせは(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)の5通り。

確率は $7/36$。

- 頂点E: 和が4または9の時。

和が4になる組み合わせは(1,3),(2,2),(3,1)の3通り。

和が9になる組み合わせは(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)の4通り。

確率は $7/36$。

したがって、最も確率が高いのは頂点C。その確率は $8/36 = 2/9$。

3. 最終的な答え

(1) 頂点Dにくる確率：$1/6$、頂点Bにくる確率：$1/6$

(2) 出た目の数の和：5, 10、確率：$7/36$

(3) 頂点C、確率：$2/9$