問題30は、(1) "baseball"という単語の8文字を並び替えてできる文字列の総数を求める問題と、(2) 赤玉、青玉、白玉がそれぞれ5個ずつ入った袋から5個の玉を取り出す場合の組合せに関する問題です。(2)については(ア)取り出し方の組合せの総数、(イ)各色の玉が少なくとも1個は含まれる組合せの総数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題30は、(1) "baseball"という単語の8文字を並び替えてできる文字列の総数を求める問題と、(2) 赤玉、青玉、白玉がそれぞれ5個ずつ入った袋から5個の玉を取り出す場合の組合せに関する問題です。(2)については(ア)取り出し方の組合せの総数、(イ)各色の玉が少なくとも1個は含まれる組合せの総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

"baseball"という単語は8文字で、b, a, lがそれぞれ2回出現します。

8文字を並べる順列の総数は $8!$ ですが、同じ文字の並び順を区別しないため、それぞれの文字の個数の階乗で割る必要があります。

したがって、文字列の総数は、

$\frac{8!}{2!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 1 = 5040$

(2)

(ア)

赤玉、青玉、白玉をそれぞれ$r, b, w$個取り出すとします。このとき、$r+b+w = 5$ であり、$0 \le r \le 5$, $0 \le b \le 5$, $0 \le w \le 5$ を満たす整数の組 $(r, b, w)$ の数を求めることになります。これは、異なる3種類のものから重複を許して5個選ぶ組合せの数に等しく、重複組合せの公式を用いると、

$_{3}H_{5} = _{3+5-1}C_{5} = _{7}C_{5} = _{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(イ)

各色の玉が少なくとも1個は含まれる場合、つまり、$r \ge 1$, $b \ge 1$, $w \ge 1$ を満たす整数の組 $(r, b, w)$ の数を求めることになります。

$r' = r - 1$, $b' = b - 1$, $w' = w - 1$ とおくと、$r', b', w' \ge 0$ であり、$r' + b' + w' = 5 - 3 = 2$ を満たす整数の組 $(r', b', w')$ の数を求めることになります。これは、異なる3種類のものから重複を許して2個選ぶ組合せの数に等しく、重複組合せの公式を用いると、

$_{3}H_{2} = _{3+2-1}C_{2} = _{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) (ア) 21通り (イ) 6通り