袋の中に赤玉が2個、白玉が3個入っている。 (1) 玉を1個取り出して色を確認後、袋に戻す操作を3回繰り返すとき、少なくとも1回白玉が出る確率を求める。 (2) 3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が赤玉である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が2個、白玉が3個入っている。

(1) 玉を1個取り出して色を確認後、袋に戻す操作を3回繰り返すとき、少なくとも1回白玉が出る確率を求める。

(2) 3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が赤玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

白玉が1回以上出る確率を直接求める代わりに、3回とも赤玉が出る確率を求め、それを1から引くことで求める。

1回の試行で赤玉が出る確率は $2/5$ である。

したがって、3回とも赤玉が出る確率は、

$(\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125}$

よって、少なくとも1回白玉が出る確率は、

$1 - \frac{8}{125} = \frac{125-8}{125} = \frac{117}{125}$

(2)

少なくとも1個が赤玉である確率を直接求める代わりに、3個とも白玉である確率を求め、それを1から引くことで求める。

3個の玉を同時に取り出す組み合わせの総数は、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りである。

3個とも白玉を取り出す組み合わせは、$_3C_3 = 1$通りである。

したがって、3個とも白玉である確率は、$\frac{1}{10}$

よって、少なくとも1個が赤玉である確率は、

$1 - \frac{1}{10} = \frac{10-1}{10} = \frac{9}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{117}{125}$

(2) $\frac{9}{10}$