(1) 5つの数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る時、全部で何個の整数が作れるか。 (2) 男子3人、女子4人の計7人が横一列に並ぶ時、男子3人が連続して並ぶ並び方は何通りあるか。 (3) 白玉4個、赤玉2個が入っている袋から、同時に3個の玉を取り出す時、白玉2個、赤玉1個が取り出される確率はいくらか。 (4) 白玉4個、赤玉3個が入っている袋から、同時に3個の玉を取り出す時、全て同じ色の玉を取り出す確率はいくらか。

## 問題の解答

1. 問題の内容

(1) 5つの数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る時、全部で何個の整数が作れるか。

(2) 男子3人、女子4人の計7人が横一列に並ぶ時、男子3人が連続して並ぶ並び方は何通りあるか。

(3) 白玉4個、赤玉2個が入っている袋から、同時に3個の玉を取り出す時、白玉2個、赤玉1個が取り出される確率はいくらか。

(4) 白玉4個、赤玉3個が入っている袋から、同時に3個の玉を取り出す時、全て同じ色の玉を取り出す確率はいくらか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数を作る場合、百の位は0以外の数字から選ぶ必要がある。

* 百の位が0以外の数字の場合、百の位の選び方は4通り。

* 十の位は、百の位で使った数字と0以外の4通りから選ぶので4通り。

* 一の位は、百の位と十の位で使った数字以外の3通り。

* よって、3桁の整数は $4 \times 4 \times 3 = 48$個作れる。

(2) 男子3人が連続して並ぶ場合、男子3人をひとまとめにして考える。

* 男子3人の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通り。

* 男子3人のグループと女子4人を並べるので、並び方は $(4+1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り。

* よって、男子3人が連続して並ぶ並び方は $6 \times 120 = 720$通り。

(3) 白玉4個、赤玉2個の計6個の玉から3個を取り出す組み合わせは ${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

* 白玉2個、赤玉1個を取り出す組み合わせは ${}_4C_2 \times {}_2C_1 = \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{1!1!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 2 = 6 \times 2 = 12$通り。

* よって、白玉2個、赤玉1個を取り出す確率は $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$。

(4) 白玉4個、赤玉3個の計7個の玉から3個を取り出す組み合わせは ${}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

* 白玉3個を取り出す組み合わせは ${}_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$通り。

* 赤玉3個を取り出す組み合わせは ${}_3C_3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$通り。

* よって、全て同じ色の玉を取り出す確率は $\frac{4+1}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$。

3. 最終的な答え

(1) 48個

(2) 720通り

(3) $\frac{3}{5}$

(4) $\frac{1}{7}$