$x$ は実数であるとする。 (1) $|x-1| < 2$ であることは、 $-1 < x < 3$ であるための何条件か。 (2) $|x-1| \ge 2$ であることは、$x \ge 3$ であるための何条件か。 選択肢は以下の4つ。 (1) 必要十分条件である (2) 必要条件であるが、十分条件ではない (3) 十分条件であるが、必要条件ではない (4) 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

$x$ は実数であるとする。

(1) $|x-1| < 2$ であることは、 $-1 < x < 3$ であるための何条件か。

(2) $|x-1| \ge 2$ であることは、$x \ge 3$ であるための何条件か。

選択肢は以下の4つ。

(1) 必要十分条件である

(2) 必要条件であるが、十分条件ではない

(3) 十分条件であるが、必要条件ではない

(4) 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $|x-1| < 2$ であるとき、不等式を解くと $-2 < x-1 < 2$ より、$-1 < x < 3$ となる。

したがって、$|x-1| < 2$ ならば $-1 < x < 3$ は成り立つ。

逆に、$-1 < x < 3$ のとき、$|x-1| < 2$ が成り立つかを確認する。 $-1 < x < 3$ のとき、$x-1$ の範囲は $-2 < x-1 < 2$ であるから、$|x-1| < 2$ は成り立つ。

よって、$|x-1| < 2$ と $-1 < x < 3$ は同値である。

したがって、$|x-1| < 2$ であることは、$-1 < x < 3$ であるための必要十分条件である。

答えは (1)。

(2) $|x-1| \ge 2$ であるとき、$x-1 \ge 2$ または $x-1 \le -2$ より、$x \ge 3$ または $x \le -1$ となる。

したがって、$|x-1| \ge 2$ ならば $x \ge 3$ とは限らない。例えば、$x = -2$ のとき、$|x-1| = |-2-1| = 3 \ge 2$ だが、$x \ge 3$ は成り立たない。

逆に、$x \ge 3$ であるとき、$|x-1| \ge 2$ が成り立つかを確認する。$x \ge 3$ のとき、$x-1 \ge 2$ であるから、$|x-1| \ge 2$ は成り立つ。

よって、$x \ge 3$ は $|x-1| \ge 2$ であるための十分条件である。また、$|x-1| \ge 2$ は $x \ge 3$ であるための必要条件ではない。

したがって、$|x-1| \ge 2$ であることは、$x \ge 3$ であるための必要条件ではないが、十分条件である。

答えは (3)。

3. 最終的な答え

(1) 3の答え：(1)

(2) 4の答え：(3)