2次関数 $y = 2x^2 + 4x + 1$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 4x + 1$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4x + 1 = 2(x^2 + 2x) + 1 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = 2(x+1)^2 - 2 + 1 = 2(x+1)^2 - 1$

したがって、頂点の座標は $(-1, -1)$ で、下に凸な放物線です。

定義域 $-2 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めます。

頂点のx座標である $x = -1$ は定義域に含まれています。

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1+1)^2 - 1 = -1$ となり、これが最小値となります。

次に、定義域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = 2(-2+1)^2 - 1 = 2(-1)^2 - 1 = 2(1) - 1 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1+1)^2 - 1 = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$

したがって、最大値は $x=1$ のときの $y=7$ となります。

3. 最終的な答え

最大値: 7

最小値: -1