$x$ は実数であるとき、以下の条件が成り立つための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどちらでもないかを判断する問題です。 * $|x-1| < 2$ であることは、$-1 < x < 3$ であるための何か。 * $|x-1| \geq 2$ であることは、$x \geq 3$ であるための何か。 選択肢は以下の4つです。 1. 必要十分条件である

1. 問題の内容

$x$ は実数であるとき、以下の条件が成り立つための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどちらでもないかを判断する問題です。

* $|x-1| < 2$ であることは、$-1 < x < 3$ であるための何か。

* $|x-1| \geq 2$ であることは、$x \geq 3$ であるための何か。

選択肢は以下の4つです。

1. 必要十分条件である

2. 必要条件であるが、十分条件ではない

3. 十分条件であるが、必要条件ではない

4. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

まず、一つ目の条件 $|x-1| < 2$ について考えます。

$|x-1| < 2$ は、$-2 < x-1 < 2$ と同値です。

各辺に1を加えると、 $-1 < x < 3$ となります。

したがって、$|x-1| < 2$ であることは $-1 < x < 3$ であることと同値です。

よって、$|x-1| < 2$ であることは、$-1 < x < 3$ であるための必要十分条件です。

解答の選択肢では、①がこれに該当します。

次に、$|x-1| \geq 2$ について考えます。

$|x-1| \geq 2$ は、$x-1 \geq 2$ または $x-1 \leq -2$ と同値です。

したがって、$x \geq 3$ または $x \leq -1$ となります。

ここで、$x \geq 3$ ならば、$|x-1| \geq 2$ は成り立ちます。したがって、$x \geq 3$ であることは、$|x-1| \geq 2$ であるための十分条件です。

しかし、$|x-1| \geq 2$ であっても $x \geq 3$ とは限りません。例えば、$x = -2$ のとき、$|x-1| = |-2-1| = 3 \geq 2$ ですが、$x \geq 3$ は成り立ちません。したがって、$x \geq 3$ であることは、$|x-1| \geq 2$ であるための必要条件ではありません。

よって、$|x-1| \geq 2$ であることは、$x \geq 3$ であるための十分条件であるが、必要条件ではありません。

解答の選択肢では、③がこれに該当します。

3. 最終的な答え

3: 1

4: 3