$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求める問題です。 (1) $x+y$ および $xy$ (2) $x^2+y^2$ (3) $x^3+y^3$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求める問題です。

(1) $x+y$ および $xy$

(2) $x^2+y^2$

(3) $x^3+y^3$

2. 解き方の手順

(1)

$x+y$ を計算します。

$x+y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

$xy$ を計算します。

$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

(2)

$x^2+y^2$ を計算します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ の公式を利用します。

既に $x+y = 2\sqrt{3}$、$xy = 1$ を求めているので、

$x^2+y^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(1) = 4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10$

(3)

$x^3+y^3$ を計算します。

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ の公式を利用します。

既に $x+y = 2\sqrt{3}$、$xy = 1$ を求めているので、

$x^3+y^3 = (2\sqrt{3})^3 - 3(1)(2\sqrt{3}) = 8 \cdot 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{3}$、$xy = 1$

(2) $x^2+y^2 = 10$

(3) $x^3+y^3 = 18\sqrt{3}$