関数 $y = \frac{x-1}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ が与えられたとき、

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられます。

この問題では、$u(x) = x - 1$ および $v(x) = x^3 + 1$ となります。

それぞれの導関数は次の通りです。

$u'(x) = 1$

$v'(x) = 3x^2$

これらの導関数を商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{1 \cdot (x^3 + 1) - (x - 1) \cdot 3x^2}{(x^3 + 1)^2}$

これを展開して整理します。

$y' = \frac{x^3 + 1 - 3x^3 + 3x^2}{(x^3 + 1)^2}$

$y' = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3 + 1)^2}$