与えられた8個の関数をそれぞれ微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた8個の関数をそれぞれ微分する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$

各項を微分します。

$y' = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

(2) $s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2}$

各項を微分します。

$s' = \frac{2t - 2}{2} = t - 1$

(3) $y = (x^2 + 3)(2x - 1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 + 3$, $v = 2x - 1$ とすると、

$u' = 2x$, $v' = 2$

$y' = (2x)(2x - 1) + (x^2 + 3)(2)$

$= 4x^2 - 2x + 2x^2 + 6$

$= 6x^2 - 2x + 6$

(4) $s = \frac{2}{t^3} + \frac{2t - 1}{t + 1}$

$s = 2t^{-3} + \frac{2t - 1}{t + 1}$

まず、$\frac{2}{t^3}$ の微分は $-6t^{-4} = -\frac{6}{t^4}$

次に、$\frac{2t - 1}{t + 1}$ の微分は商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = 2t - 1$, $v = t + 1$ とすると、

$u' = 2$, $v' = 1$

$(\frac{2t - 1}{t + 1})' = \frac{(2)(t + 1) - (2t - 1)(1)}{(t + 1)^2} = \frac{2t + 2 - 2t + 1}{(t + 1)^2} = \frac{3}{(t + 1)^2}$

したがって、$s' = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t + 1)^2}$

(5) $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}}$

$y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x^{1/2}}$

$y = x^{3/2} + 2x^{1/2} - 2x^{-1/2}$

$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} + x^{-1/2} + x^{-3/2}$

$y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

$y' = \frac{3x^2 + 2x + 2}{2x\sqrt{x}}$

(6) $s = \frac{1}{t\sqrt{t}}$

$s = \frac{1}{t \cdot t^{1/2}} = \frac{1}{t^{3/2}} = t^{-3/2}$

$s' = -\frac{3}{2}t^{-5/2} = -\frac{3}{2t^{5/2}} = -\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

(7) $y = (3x - 2)^4$

合成関数の微分公式 $y' = 4(3x - 2)^3 \cdot (3x - 2)' = 4(3x - 2)^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$

(8) $s = \sqrt[3]{3t - 4}$

$s = (3t - 4)^{1/3}$

合成関数の微分公式 $s' = \frac{1}{3}(3t - 4)^{-2/3} \cdot (3t - 4)' = \frac{1}{3}(3t - 4)^{-2/3} \cdot 3 = (3t - 4)^{-2/3} = \frac{1}{(3t - 4)^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3t-4)^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

(2) $s' = t - 1$

(3) $y' = 6x^2 - 2x + 6$

(4) $s' = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t + 1)^2}$

(5) $y' = \frac{3x^2 + 2x + 2}{2x\sqrt{x}}$

(6) $s' = -\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

(7) $y' = 12(3x - 2)^3$

(8) $s' = \frac{1}{\sqrt[3]{(3t-4)^2}}$