与えられた2つの関数について、連続性を調べる問題です。 (1) $f(x, y) = \frac{x^3 - y^2}{2x - y}$ (2) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2} ((x, y) \neq (0, 0) のとき); f(0, 0) = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、連続性を調べる問題です。

(1) $f(x, y) = \frac{x^3 - y^2}{2x - y}$

(2) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2} ((x, y) \neq (0, 0) のとき); f(0, 0) = 0$

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x, y) = \frac{x^3 - y^2}{2x - y}$ は、分母が $2x - y$ なので、$2x - y = 0$ となる点で定義されません。つまり、$y = 2x$ 上で不連続となります。それ以外の点では、多項式の商として連続です。

(2)

関数 $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ は、$(x, y) \neq (0, 0)$ で定義されています。$(0, 0)$ では $f(0, 0) = 0$ と定義されています。

$(0, 0)$ 以外では、多項式の商として連続です。

問題は、$(0, 0)$ での連続性です。極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用います。

$f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = \frac{r \cos \theta \cdot r^2 \sin^2 \theta}{r^2} = r \cos \theta \sin^2 \theta$

$(x, y) \to (0, 0)$ は $r \to 0$ と同値です。

$|f(x, y) - f(0, 0)| = |r \cos \theta \sin^2 \theta - 0| = |r \cos \theta \sin^2 \theta| \leq |r|$

$r \to 0$ のとき、$|f(x, y) - f(0, 0)| \to 0$ となるので、$f(x, y) \to f(0, 0) = 0$ です。

したがって、$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で連続です。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x$ 上で不連続。それ以外の点では連続。

(2) 全ての点で連続。