関数 $f(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ が与えられている。 (1) $f$ の勾配ベクトル grad $f$ を求めよ。 (2) 単位ベクトル $a_n = (a_x + a_y + a_z)/\sqrt{3}$ とするとき、点 (1, 1, 1) における grad $f$ の $a_n$ 方向の成分を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ が与えられている。

(1) $f$ の勾配ベクトル grad $f$ を求めよ。

(2) 単位ベクトル $a_n = (a_x + a_y + a_z)/\sqrt{3}$ とするとき、点 (1, 1, 1) における grad $f$ の $a_n$ 方向の成分を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 勾配ベクトル grad $f$ は、各変数に関する偏微分を計算することで求められる。

$\text{grad } f = \frac{\partial f}{\partial x} a_x + \frac{\partial f}{\partial y} a_y + \frac{\partial f}{\partial z} a_z$

まず、$f$ の $x$ に関する偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2y^2 + xyz + 3xz^2) = 2xy^2 + yz + 3z^2$

次に、$f$ の $y$ に関する偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2y^2 + xyz + 3xz^2) = 2x^2y + xz$

最後に、$f$ の $z$ に関する偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x^2y^2 + xyz + 3xz^2) = xy + 6xz$

したがって、

$\text{grad } f = (2xy^2 + yz + 3z^2) a_x + (2x^2y + xz) a_y + (xy + 6xz) a_z$

(2) 点 (1, 1, 1) における grad $f$ の値を計算する。

$x = 1$, $y = 1$, $z = 1$ を grad $f$ に代入する。

$\text{grad } f |_{(1,1,1)} = (2(1)(1)^2 + (1)(1) + 3(1)^2) a_x + (2(1)^2(1) + (1)(1)) a_y + ((1)(1) + 6(1)(1)) a_z = (2 + 1 + 3) a_x + (2 + 1) a_y + (1 + 6) a_z = 6 a_x + 3 a_y + 7 a_z$

次に、grad $f$ と単位ベクトル $a_n$ の内積を計算する。

$\text{grad } f |_{(1,1,1)} \cdot a_n = (6 a_x + 3 a_y + 7 a_z) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} (a_x + a_y + a_z) = \frac{1}{\sqrt{3}} (6(a_x \cdot a_x) + 3(a_y \cdot a_y) + 7(a_z \cdot a_z)) = \frac{1}{\sqrt{3}} (6(1) + 3(1) + 7(1)) = \frac{6 + 3 + 7}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

(1) $\text{grad } f = (2xy^2 + yz + 3z^2) a_x + (2x^2y + xz) a_y + (xy + 6xz) a_z$

(2) $\frac{16}{\sqrt{3}}$