$\int (5\sin x - 4\cos x) dx$ を計算します。

## 不定積分の問題を解く

画像の不定積分問題を解きます。今回は、特に指定がないので、問題番号 (1) から (16) までのすべての問題を解きます。積分定数は省略します。

### (1) $\int (5\sin x - 4\cos x) dx$

1. **問題の内容:**

$\int (5\sin x - 4\cos x) dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* 積分の線形性より、$\int (5\sin x - 4\cos x) dx = 5\int \sin x dx - 4\int \cos x dx$

* $\int \sin x dx = -\cos x$

* $\int \cos x dx = \sin x$

したがって、

$5\int \sin x dx - 4\int \cos x dx = -5\cos x - 4\sin x$

3. **最終的な答え:**

$-5\cos x - 4\sin x$

### (2) $\int (\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{2}{\sin^2 x}) dx$

1. **問題の内容:**

$\int (\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{2}{\sin^2 x}) dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

* $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$

* $\int \sec^2 x dx = \tan x$

* $\int \csc^2 x dx = -\cot x$

* 積分の線形性より、$\int (\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{2}{\sin^2 x}) dx = 3\int \sec^2 x dx - 2\int \csc^2 x dx$

* $3\int \sec^2 x dx - 2\int \csc^2 x dx = 3\tan x + 2\cot x$

3. **最終的な答え:**

$3\tan x + 2\cot x$

### (3) $\int (\frac{1}{\tan x} + 2) \sin x dx$

1. **問題の内容:**

$\int (\frac{1}{\tan x} + 2) \sin x dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$

* $(\frac{1}{\tan x} + 2) \sin x = (\frac{\cos x}{\sin x} + 2) \sin x = \cos x + 2\sin x$

* $\int (\cos x + 2\sin x) dx = \int \cos x dx + 2\int \sin x dx = \sin x - 2\cos x$

3. **最終的な答え:**

$\sin x - 2\cos x$

### (4) $\int (2e^x - x^2) dx$

1. **問題の内容:**

$\int (2e^x - x^2) dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $\int e^x dx = e^x$

* $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ (n ≠ -1)

* $\int (2e^x - x^2) dx = 2\int e^x dx - \int x^2 dx = 2e^x - \frac{x^3}{3}$

3. **最終的な答え:**

$2e^x - \frac{x^3}{3}$

### (5) $\int (2e^x + \frac{3}{x}) dx$

1. **問題の内容:**

$\int (2e^x + \frac{3}{x}) dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $\int e^x dx = e^x$

* $\int \frac{1}{x} dx = \log |x|$

* $\int (2e^x + \frac{3}{x}) dx = 2\int e^x dx + 3\int \frac{1}{x} dx = 2e^x + 3\log |x|$

3. **最終的な答え:**

$2e^x + 3\log |x|$

### (6) $\int x\sqrt{x+2} dx$

1. **問題の内容:**

$\int x\sqrt{x+2} dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $u = x+2$ と置換すると、$x = u-2$、$dx = du$。

* $\int x\sqrt{x+2} dx = \int (u-2)\sqrt{u} du = \int (u^{3/2} - 2u^{1/2}) du = \int u^{3/2} du - 2\int u^{1/2} du$

* $\int u^{3/2} du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}$

* $\int u^{1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}$

* $\frac{2}{5}u^{5/2} - 2(\frac{2}{3}u^{3/2}) = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{4}{3}u^{3/2} = \frac{2}{5}(x+2)^{5/2} - \frac{4}{3}(x+2)^{3/2}$

3. **最終的な答え:**

$\frac{2}{5}(x+2)^{5/2} - \frac{4}{3}(x+2)^{3/2}$

### (7) $\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx$

1. **問題の内容:**

$\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $u = x+1$ と置換すると、$x = u-1$、$dx = du$。

* $\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{3(u-1)-1}{\sqrt{u}} du = \int \frac{3u-4}{\sqrt{u}} du = \int (3u^{1/2} - 4u^{-1/2}) du$

* $\int 3u^{1/2} du = 3 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = 2u^{3/2}$

* $\int 4u^{-1/2} du = 4 \cdot 2u^{1/2} = 8u^{1/2}$

* $2u^{3/2} - 8u^{1/2} = 2(x+1)^{3/2} - 8(x+1)^{1/2}$

3. **最終的な答え:**

$2(x+1)^{3/2} - 8(x+1)^{1/2}$

### (8) $\int 3(x^3+2)x^2 dx$

1. **問題の内容:**

$\int 3(x^3+2)x^2 dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $\int 3(x^3+2)x^2 dx = \int (3x^5 + 6x^2) dx = 3\int x^5 dx + 6\int x^2 dx$

* $\int x^5 dx = \frac{x^6}{6}$

* $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$

* $3(\frac{x^6}{6}) + 6(\frac{x^3}{3}) = \frac{x^6}{2} + 2x^3$

3. **最終的な答え:**

$\frac{x^6}{2} + 2x^3$

### (9) $\int \sin^2 x \cos x dx$

1. **問題の内容:**

$\int \sin^2 x \cos x dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$。

* $\int \sin^2 x \cos x dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} = \frac{\sin^3 x}{3}$

3. **最終的な答え:**

$\frac{\sin^3 x}{3}$

### (10) $\int \frac{dx}{x\log x}$

1. **問題の内容:**

$\int \frac{dx}{x\log x}$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$。

* $\int \frac{dx}{x\log x} = \int \frac{du}{u} = \log |u| = \log |\log x|$

3. **最終的な答え:**

$\log |\log x|$

### (11) $\int x \cos 3x dx$

1. **問題の内容:**

$\int x \cos 3x dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* 部分積分を用いる。$u = x$, $dv = \cos 3x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{3} \sin 3x$。

* $\int x \cos 3x dx = uv - \int v du = \frac{1}{3}x \sin 3x - \int \frac{1}{3} \sin 3x dx = \frac{1}{3}x \sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x$

3. **最終的な答え:**

$\frac{1}{3}x \sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x$

### (12) $\int x^3 \log x dx$

1. **問題の内容:**

$\int x^3 \log x dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* 部分積分を用いる。$u = \log x$, $dv = x^3 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^4}{4}$。

* $\int x^3 \log x dx = uv - \int v du = \frac{x^4}{4} \log x - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$

3. **最終的な答え:**

$\frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$

### (13) $\int (2x-1)e^x dx$

1. **問題の内容:**

$\int (2x-1)e^x dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* 部分積分を用いる。$u = 2x-1$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2 dx$, $v = e^x$。

* $\int (2x-1)e^x dx = (2x-1)e^x - \int 2e^x dx = (2x-1)e^x - 2e^x = 2xe^x - e^x - 2e^x = 2xe^x - 3e^x$

3. **最終的な答え:**

$2xe^x - 3e^x$

### (14) $\int \log (x+2) dx$

1. **問題の内容:**

$\int \log (x+2) dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* 部分積分を用いる。$u = \log (x+2)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+2} dx$, $v = x$。

* $\int \log (x+2) dx = x\log (x+2) - \int \frac{x}{x+2} dx = x\log (x+2) - \int \frac{x+2-2}{x+2} dx = x\log (x+2) - \int (1 - \frac{2}{x+2}) dx = x\log (x+2) - (x - 2\log |x+2|) = x\log (x+2) - x + 2\log |x+2|$

3. **最終的な答え:**

$x\log (x+2) - x + 2\log |x+2|$

### (15) $\int x^2 \cos x dx$

1. **問題の内容:**

$\int x^2 \cos x dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* 部分積分を2回行う。まず、$u = x^2$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = \sin x$。

* $\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x dx$

* 次に、$\int x \sin x dx$ を計算する。$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$。

* $\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x$

* $\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - 2 (-x \cos x + \sin x) = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x$

3. **最終的な答え:**

$x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x$

### (16) $\int (x^2 - 1) e^x dx$

1. **問題の内容:**

$\int (x^2 - 1) e^x dx$ を計算します。

2. **解き方の手順:**

* $\int (x^2 - 1) e^x dx = \int x^2 e^x dx - \int e^x dx$. まず $\int x^2 e^x dx$ を部分積分で計算する。$u = x^2$, $dv = e^x dx$とすると、$du = 2x dx$, $v = e^x$。

* $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx$. さらに $\int x e^x dx$ を部分積分で計算する。$u = x$, $dv = e^x dx$とすると、$du = dx$, $v = e^x$。

* $\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x$。

* したがって, $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 (xe^x - e^x) = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x$.

* $\int (x^2 - 1) e^x dx = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x - e^x = x^2 e^x - 2xe^x + e^x = (x^2 - 2x + 1)e^x = (x-1)^2 e^x$.

3. **最終的な答え:**

$(x-1)^2 e^x$