次の不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ (2) $\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}$ ここでは、漸化式を利用して解きます。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$

(2) $\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}$

ここでは、漸化式を利用して解きます。

2. 解き方の手順

(1) $I_n = \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ とおきます。

$I_n$ の漸化式を導出するために、部分積分を利用します。

$I_n = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx = \int \frac{x^2+1}{(x^2+1)^n} dx - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx = \int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}} dx - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx = I_{n-1} - \int x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^n} dx$

ここで、$\int x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^n} dx$ を部分積分すると、

$\int x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^n} dx = x \int \frac{x}{(x^2+1)^n} dx - \int \left( \int \frac{x}{(x^2+1)^n} dx \right) dx = x \cdot \frac{1}{2} \int (x^2+1)^{-n} d(x^2+1) - \int \frac{1}{2} (x^2+1)^{-n} d(x^2+1) dx = x \cdot \frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{-n+1}}{-n+1} - \int \frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{-n+1}}{-n+1} dx = \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)} I_{n-1}$

よって、

$I_n = I_{n-1} - \left[ \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)} I_{n-1} \right] = I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} + \frac{1}{2(1-n)} I_{n-1} = \frac{2(1-n)+1}{2(1-n)} I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} = \frac{3-2n}{2(1-n)} I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}}$

$I_n = \frac{2n-3}{2n-2} I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}$

(1) $I_2 = \int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求める。

$I_1 = \int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$

$I_2 = \frac{2(2)-3}{2(2)-2} I_1 + \frac{x}{2(2-1)(x^2+1)^{2-1}} = \frac{1}{2} I_1 + \frac{x}{2(x^2+1)} = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

(2) $I_3 = \int \frac{dx}{(x^2+1)^3}$ を求める。

$I_3 = \frac{2(3)-3}{2(3)-2} I_2 + \frac{x}{2(3-1)(x^2+1)^{3-1}} = \frac{3}{4} I_2 + \frac{x}{4(x^2+1)^2} = \frac{3}{4} \left[ \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} \right] + \frac{x}{4(x^2+1)^2} + C = \frac{3}{8} \arctan x + \frac{3x}{8(x^2+1)} + \frac{x}{4(x^2+1)^2} + C = \frac{3}{8} \arctan x + \frac{3x(x^2+1)+2x}{8(x^2+1)^2} + C = \frac{3}{8} \arctan x + \frac{3x^3+5x}{8(x^2+1)^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

(2) $\int \frac{dx}{(x^2+1)^3} = \frac{3}{8} \arctan x + \frac{3x^3+5x}{8(x^2+1)^2} + C$