$\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} \sin(\sqrt{t}) dt$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} \sin(\sqrt{t}) dt$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

微積分学の基本定理と合成関数の微分（連鎖律）を利用します。

まず、微積分学の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = f(x)$

です。

次に、合成関数の微分（連鎖律）を考えます。

$u = x^2$とおくと、求める式は $\frac{d}{dx} \int_0^u \sin(\sqrt{t}) dt$ となります。

連鎖律より、

$\frac{d}{dx} \int_0^u \sin(\sqrt{t}) dt = \frac{d}{du} \int_0^u \sin(\sqrt{t}) dt \cdot \frac{du}{dx}$

となります。

微積分学の基本定理より、

$\frac{d}{du} \int_0^u \sin(\sqrt{t}) dt = \sin(\sqrt{u})$

$u = x^2$ より、$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} \sin(\sqrt{t}) dt = \sin(\sqrt{x^2}) \cdot 2x$

$\sqrt{x^2} = |x|$ ですが、ここでは $x>0$ であると仮定して $x$ とします。

$\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} \sin(\sqrt{t}) dt = \sin(x) \cdot 2x = 2x\sin(x)$

3. 最終的な答え

$2x\sin(x)$