関数 $y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分する。

2. 解き方の手順

この関数を微分するために、商の微分公式を使用します。商の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

で与えられます。

ここで、$u(x) = x^3 - 4x + 2$ と $v(x) = x - 2$ とします。

まず、$u'(x)$ と $v'(x)$ を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x + 2) = 3x^2 - 4$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(x - 2) = 1$

次に、商の微分公式にこれらの導関数を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(3x^2 - 4)(x - 2) - (x^3 - 4x + 2)(1)}{(x - 2)^2}$

分子を展開して整理します。

$(3x^2 - 4)(x - 2) = 3x^3 - 6x^2 - 4x + 8$

$(x^3 - 4x + 2)(1) = x^3 - 4x + 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(3x^3 - 6x^2 - 4x + 8) - (x^3 - 4x + 2)}{(x - 2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^3 - 6x^2 - 4x + 8 - x^3 + 4x - 2}{(x - 2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6}{(x - 2)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6}{(x - 2)^2}$