与えられた関数 $f(x, y)$ に対して、点 $(0, 0)$ における方向ベクトル $\ell = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0)$ を求める問題です。 (1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ (2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ に対して、点 $(0, 0)$ における方向ベクトル $\ell = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0)$ を求める問題です。

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

方向微分係数の定義より、

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t\cos\theta, 0 + t\sin\theta) - f(0, 0)}{t}$

を用いて計算します。

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ の場合

$f(0, 0) = \cos 0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t\cos\theta) + \sin(t\sin\theta) - 1}{t}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{(1 - \frac{(t\cos\theta)^2}{2!} + \dots) + (t\sin\theta - \frac{(t\sin\theta)^3}{3!} + \dots) - 1}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{t\sin\theta - \frac{t^2\cos^2\theta}{2} + O(t^3)}{t}$

$= \lim_{t \to 0} (\sin\theta - \frac{t\cos^2\theta}{2} + O(t^2))$

$= \sin\theta$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合

$f(0, 0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - 0}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t\cos\theta |t\sin\theta|}{\sqrt{(t\cos\theta)^2 + (t\sin\theta)^2}}}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{t\cos\theta |t\sin\theta|}{t\sqrt{t^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos\theta |\sin\theta|}{t^2 |t|}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{\cos\theta |\sin\theta|}{|t|}$

$\theta$ が $\sin\theta \neq 0$ の場合、この極限は存在しません。もし $\sin\theta = 0$ なら、 $\cos\theta = \pm 1$ であり、極限は $0$ です。したがって、$y=0$の場合は方向微分が存在し、$\sin\theta \neq 0$の場合は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \sin\theta$

(2) $\frac{\partial f}{\partial \ell}(0, 0) = \begin{cases} 0 & (\sin\theta = 0) \\ \text{存在しない} & (\sin\theta \neq 0) \end{cases}$

言い換えると、$\sin\theta = 0$ なら $0$、そうでなければ存在しない。