関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、実数全体で単調減少となるような $a$ の範囲を求める問題です。 $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4ax + 1 & (x \le 2) \\ \log_a x & (x > 2) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、実数全体で単調減少となるような $a$ の範囲を求める問題です。

$f(x) = \begin{cases}

x^2 - 4ax + 1 & (x \le 2) \\

\log_a x & (x > 2)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

* **ステップ1:** $x \le 2$ の範囲での単調減少条件を考える。

$g(x) = x^2 - 4ax + 1$ とおくと、$g(x) = (x - 2a)^2 + 1 - 4a^2$ と変形できます。

$x \le 2$ の範囲で単調減少となるためには、軸 $x = 2a$ が $2$ 以上である必要があります。

つまり、$2a \ge 2$ より $a \ge 1$。

また、$x \le 2$ において単調減少であるためには、$x = 2$ での傾きが $0$ 以下である必要があり、

$g'(x) = 2x - 4a$ より $g'(2) = 4 - 4a \le 0$、よって $a \ge 1$。

* **ステップ2:** $x > 2$ の範囲での単調減少条件を考える。

$h(x) = \log_a x$ が $x > 2$ で単調減少となるためには、$0 < a < 1$ である必要があります。

* **ステップ3:** $x = 2$ での連続性を考慮する。

$x = 2$ で $g(2) = 4 - 8a + 1 = 5 - 8a$ であり、$h(2) = \log_a 2$ です。

$f(x)$ が単調減少となるためには、$g(2) \ge h(2)$ である必要があります。

つまり、$5 - 8a \ge \log_a 2$。

* **ステップ4:** $x=2$ で関数が連続である条件を考える。

$x=2$ での関数値が一致する必要はないですが、関数が単調減少であるためには、$g(2) \ge h(2)$ でなければならない。

$a \ge 1$ のときは、$0 < a < 1$ の場合があるので、$a=1$ を考慮する。

$a=1$の場合、$h(x) = \log_1 x$ が定義できないので、$a \ne 1$。

また、$a \ge 1$ のとき、$x \le 2$ で単調減少とならないため、$a \ge 1$ は不適。

よって、$0 < a < 1$ の場合を検討する。

このとき、$h(x)=\log_a x$ は単調減少である。

$g(2) = 5-8a \ge \log_a 2 = \frac{\log 2}{\log a}$ である必要があるので、$5-8a - \frac{\log 2}{\log a} \ge 0$ となる。

* **ステップ5:** 全体を通しての条件をまとめる。

$x \le 2$ で単調減少となるためには、$a \ge 1$である。

しかし、$x > 2$ で単調減少となるためには、$0 < a < 1$ である必要がある。

したがって、これらの条件を同時に満たす $a$ は存在しない。

しかし、問題文の条件を満たすためには、$a = 1$ のとき、$x > 2$ で関数が定義できず、単調減少とならないため、$a < 1$ である必要がある。

また、$a$ が正の数である必要があることを考慮して、$0 < a < 1$ を考える。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、$g(2) = 5 - 8(\frac{1}{2}) = 1$, $h(2) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$ であり、$g(2) > h(2)$ である。

以上より、 $0 < a < 1$の範囲で、ある $a$ が存在する。

* **ステップ6**: より厳密な条件を考える

$g(x)=x^2-4ax+1 (x \le 2)$, $h(x)=log_a x (x > 2)$ について

$g'(x)=2x-4a (x \le 2)$, $h'(x)=1/(x*lna) (x > 2)$

$g(x)$が単調減少になる必要があるので $g'(x) \le 0$, すなわち、$2x-4a \le 0$ なので、$a \ge x/2$ となる。よって、$a \ge 1$ となる。

$h(x)$が単調減少になる必要があるので $h'(x) \le 0$, すなわち、$1/(x*lna) \le 0$ なので、$lna \le 0$ となる。よって、$a \le 1$ となる。

$g(2) \ge h(2)$ なので、$5-8a \ge log_a 2$ となる。

$a=1$の場合、$g(x)=x^2-4x+1$ となり、$g'(x) = 2x-4$ より、$x<2$のとき単調減少となる。

$a=1$の場合、$h(x)=log_1 x$ となるが、これは定義できないので、$a=1$は解ではない。

なので $a=1$ に限りなく近い場合を考えると、$a<1$ に限りなく近いとき、$h(x)$は単調減少になる。

よって $a<1$ かつ、$g(2) \ge h(2)$ となる $a$ の範囲を求めると答えとなる。

$g(2)=5-8a \ge h(2)=log_a 2$ となる $a$ の範囲を求めると、

$a = 0.5$ のとき $1 \ge -1$ となるので、$g(2) \ge h(2)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$