関数 $f(\theta) = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} \sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2} \cos^2 \theta$ について、以下の問いに答える問題です。 (ア) $\sin^2 \theta$ を $\cos 2\theta$ で表す (イ) $f(\theta)$ を $a \sin 2\theta + b \cos 2\theta + c$ の形に変形する (ウ) $f(\theta) = \cos (2\theta + \alpha)$ の形に変形する (エ) $-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$f(\theta)$ の最小値と最大値を求める (オ) $f(\theta) = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} \sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2} \cos^2 \theta$ について、以下の問いに答える問題です。

(ア) $\sin^2 \theta$ を $\cos 2\theta$ で表す

(イ) $f(\theta)$ を $a \sin 2\theta + b \cos 2\theta + c$ の形に変形する

(ウ) $f(\theta) = \cos (2\theta + \alpha)$ の形に変形する

(エ) $-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$f(\theta)$ の最小値と最大値を求める

(オ) $f(\theta) = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める

2. 解き方の手順

(ア) $\sin^2 \theta$ を $\cos 2\theta$ を用いて表すと、

$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ となります。

(イ) $f(\theta) = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} \sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2} \cos^2 \theta$

$= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1-\cos 2\theta}{2} - \frac{1}{2} \sin 2\theta + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1+\cos 2\theta}{2}$

$= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4} \cos 2\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4} \cos 2\theta$

$= -\frac{1}{2} \sin 2\theta + (\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4}) \cos 2\theta + \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4}$

$= -\frac{1}{2} \sin 2\theta - \frac{2\sqrt{3}}{4} \cos 2\theta + \frac{2\sqrt{2}}{4}$

$= -\frac{1}{2} \sin 2\theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\theta + \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$a = -\frac{1}{2}$, $b = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $c = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

(ウ) $f(\theta) = -\frac{1}{2} \sin 2\theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\theta + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \cos(\frac{2\pi}{3}) \sin 2\theta + \sin(\frac{2\pi}{3}) \cos 2\theta + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \sin(2\theta + \frac{2\pi}{3}) + \frac{\sqrt{2}}{2}$

または、$f(\theta) = -(\frac{1}{2} \sin 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\theta) + \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sin (2\theta + \frac{\pi}{3}) + \frac{\sqrt{2}}{2}$

問題文に従うと、

$f(\theta) = \cos(2\theta + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2}) = \cos(2\theta + \frac{\pi}{6})$

(エ) $-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、$-\frac{\pi}{3} \leq 2\theta \leq \pi$

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \leq 2\theta + \frac{\pi}{6} \leq \pi + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{6} \leq 2\theta + \frac{\pi}{6} \leq \frac{7\pi}{6}$

$2\theta + \frac{\pi}{6} = 0$ のとき、$f(\theta) = \cos 0 = 1$

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \pi$ のとき、$f(\theta) = \cos \pi = -1$

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ のとき、$f(\theta) = \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(2\theta+\frac{\pi}{6})$は$2\theta+\frac{\pi}{6} = \pi$で最小値-1をとる. これは$\theta = \frac{5\pi}{12}$で$\theta$は区間$-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$に属するのでOK.

$\cos(2\theta+\frac{\pi}{6})$は$2\theta+\frac{\pi}{6} = 0$で最大値1をとる. これは$\theta = -\frac{\pi}{12}$で$\theta$は区間$-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$に属するのでOK.

よって、最小値は-1, 最大値は

1.

(オ) $f(\theta) = \cos(2\theta + \frac{\pi}{6}) = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

$2\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1-\cos 2\theta}{2}$

イ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

ウ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

エ: $\frac{\pi}{6}$

オ: -1, 1

カ: $\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}$