2変数関数 $f(x, y) = xy \log(x^2 + y^2)$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求めます。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = xy \log(x^2 + y^2)$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求めます。

2. 解き方の手順

まず、極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を行います。このとき、$(x, y) \to (0, 0)$ は $r \to 0$ に対応します。

したがって、

$$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} xy \log(x^2 + y^2) = \lim_{r \to 0} (r \cos \theta)(r \sin \theta) \log((r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2)$$

$$= \lim_{r \to 0} r^2 \cos \theta \sin \theta \log(r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)) = \lim_{r \to 0} r^2 \cos \theta \sin \theta \log(r^2)$$

$$= \lim_{r \to 0} 2 r^2 \cos \theta \sin \theta \log r$$

ここで、$|\cos \theta \sin \theta| \le 1$ であることに注意して、

$$\left| 2 r^2 \cos \theta \sin \theta \log r \right| \le 2 r^2 |\log r|$$

$\lim_{r \to 0} r^2 \log r = 0$ であることを示す必要があります。$t = 1/r$ とおくと、$r \to 0$ のとき $t \to \infty$ となり、

$$\lim_{r \to 0} r^2 \log r = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^2} \log \frac{1}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t^2}$$

これは $\infty / \infty$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用すると、

$$\lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t^2} = \lim_{t \to \infty} \frac{-1/t}{2t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-1}{2t^2} = 0$$

したがって、$\lim_{r \to 0} r^2 \log r = 0$ であることが示されました。

よって、

$$\lim_{r \to 0} 2 r^2 \cos \theta \sin \theta \log r = 0$$

したがって、極限は0です。

3. 最終的な答え

0