二変数関数 $f(x,y) = \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$ の、$(x, y)$ が $(0, 0)$ に近づくときの極限を求めます。

1. 問題の内容

二変数関数 $f(x,y) = \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$ の、$(x, y)$ が $(0, 0)$ に近づくときの極限を求めます。

2. 解き方の手順

この極限が存在するかどうかを調べるために、異なる経路から $(0, 0)$ に近づけてみます。

(1) $y = kx$ に沿って近づく場合:

$x \to 0$ とすると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(kx)^3}{x^2 + (kx)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{k^3 x^4}{x^2 + k^4 x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{k^3 x^2}{1 + k^4 x^2} = \frac{k^3 \cdot 0}{1 + k^4 \cdot 0} = 0$

となります。

(2) $x = y^2$ に沿って近づく場合:

$y \to 0$ とすると、

$\lim_{y \to 0} \frac{y^2 y^3}{(y^2)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^5}{y^4 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^5}{2y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{2} = 0$

となります。

(3) $x=my^n$という曲線に沿って近づく場合

$\lim_{y\to 0}\frac{my^n y^3}{m^2y^{2n}+y^4}=\lim_{y\to 0}\frac{my^{n+3}}{m^2y^{2n}+y^4}$

$n+3>4$かつ$2n>4$のとき極限は

0. つまり、$n>1$かつ$n>2$のとき極限は

0. したがって$n>2$.

$n+3=4$かつ$2n>4$のとき極限は$\lim_{y\to 0}\frac{my^4}{m^2y^{2}+y^4}=\lim_{y\to 0}\frac{m}{m^2y^{-2}+1}=0$

$n+3>4$かつ$2n=4$のとき極限は$\lim_{y\to 0}\frac{my^{n+3}}{m^2y^{2n}+y^4}=\lim_{y\to 0}\frac{my^{n+3}}{m^2y^{4}+y^4}=\lim_{y\to 0}\frac{my^{n-1}}{m^2+1}=0$

$n+3=4$かつ$2n=4$のとき極限は$\lim_{y\to 0}\frac{my^{n+3}}{m^2y^{2n}+y^4}=\lim_{y\to 0}\frac{my^{4}}{m^2y^{4}+y^4}=\lim_{y\to 0}\frac{m}{m^2+1}=\frac{m}{m^2+1}$

(4) 極座標変換を用いる

$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$とおくと

$\lim_{r\to 0}\frac{r\cos\theta (r\sin\theta)^3}{r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta}=\lim_{r\to 0}\frac{r^4\cos\theta \sin^3\theta}{r^2(\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta)}=\lim_{r\to 0}\frac{r^2\cos\theta \sin^3\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}=0$ ($\cos^2\theta \neq 0$)

この関数が $(0, 0)$ で連続でない可能性を考慮します。

$\frac{xy^3}{x^2+y^4}$ において、$x^2+y^4 = 0$ となるのは $(0,0)$ のみなので、連続でない点は$(0,0)$のみです。

極限が存在すると仮定すると、極限値は 0 になるはずです。

$|\frac{xy^3}{x^2+y^4} - 0| = |\frac{xy^3}{x^2+y^4}|$

$x^2 + y^4 \ge 2\sqrt{x^2 y^4} = 2|xy^2|$ なので

$|\frac{xy^3}{x^2+y^4}| \le |\frac{xy^3}{2xy^2}| = |\frac{y}{2}|$

$y \to 0$ のとき、 $|\frac{y}{2}| \to 0$ となるので、

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy^3}{x^2 + y^4} = 0$

3. 最終的な答え

0