二変数関数 $f(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

1. 問題の内容

二変数関数 $f(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。このとき、$(x, y) \to (0, 0)$ は $r \to 0$ と同値になります。

$x^3 + y^3 = r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta = r^3(\cos^3\theta + \sin^3\theta)$

$x^2 + y^2 = r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r^2$

したがって、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} = \lim_{r\to 0} \frac{r^3(\cos^3\theta + \sin^3\theta)}{r^2} = \lim_{r\to 0} r(\cos^3\theta + \sin^3\theta)$

$\cos^3\theta$ と $\sin^3\theta$ は有界なので、 $|\cos^3\theta + \sin^3\theta| \le |\cos^3\theta| + |\sin^3\theta| \le 1 + 1 = 2$ 。

よって、

$|r(\cos^3\theta + \sin^3\theta)| \le 2|r|$

$r \to 0$ のとき、$2|r| \to 0$ なので、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{r\to 0} r(\cos^3\theta + \sin^3\theta) = 0$

3. 最終的な答え

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