$0 \le \theta \le \pi$ のとき、不等式 $2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta \ge \frac{1}{2}$ を満たす$\theta$の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ のとき、不等式 $2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta \ge \frac{1}{2}$ を満たす$\theta$の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta \ge \frac{1}{2}$

2倍角の公式 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$, $\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ と $\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ ,$\cos2\theta = 1-2\sin^2\theta$を使うと、

$2\sin^2\theta - \cos^2\theta = -( \cos^2\theta - \sin^2\theta ) - \sin^2\theta = -\cos2\theta - \sin^2\theta$

ここで$\cos2\theta$と$\sin2\theta$を用いるために$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$を代入して、

$2\sin^2\theta - \cos^2\theta = -( \cos2\theta ) - \frac{1-\cos2\theta}{2} = -\frac{\cos2\theta}{2} - \frac{1}{2}$

$\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}(2\sin\theta\cos\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta$

よって不等式は

$-\frac{\cos2\theta}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta \ge \frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta - \frac{1}{2}\cos2\theta \ge 1$

三角関数の合成を行います。

$\sin\alpha = -\frac{1}{2}$ , $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\alpha$は$\alpha = -\frac{\pi}{6}$です。

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) \ge 1$

$0 \le \theta \le \pi$より、 $-\frac{\pi}{6} \le 2\theta - \frac{\pi}{6} \le 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

$\sin x = 1$を満たす$x$は$x = \frac{\pi}{2}$のみなので、

$2\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$