$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の三角関数の方程式および不等式を解きます。 (1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$ (3) $2\sin^2\theta - \cos\theta - 2 = 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の三角関数の方程式および不等式を解きます。

(1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

(3) $2\sin^2\theta - \cos\theta - 2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = t$ とおくと、$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{4}$ です。

$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $t$ は、

$t = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$

これは $0 \le \theta < 2\pi$ を満たさないので不適。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6}$ より、$\theta = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi - 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$

したがって、$\theta = \frac{19\pi}{12}$

(2) $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = t$ とおくと、$\sin t \le \frac{1}{2}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{3}$ です。

$\sin t = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ は、$\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

$\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{3}$ の範囲で $\sin t \le \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の範囲は、

$\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{5\pi}{6}$ および $\frac{13\pi}{6} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{6}$ より、$\theta \le \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi - 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\frac{13\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{3}$ より、$\frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi - 2\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

したがって、$\theta \le \frac{\pi}{2}$ および $\frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

(3) $2\sin^2\theta - \cos\theta - 2 = 0$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ より、

$2(1 - \cos^2\theta) - \cos\theta - 2 = 0$

$2 - 2\cos^2\theta - \cos\theta - 2 = 0$

$-2\cos^2\theta - \cos\theta = 0$

$2\cos^2\theta + \cos\theta = 0$

$\cos\theta (2\cos\theta + 1) = 0$

$\cos\theta = 0$ または $2\cos\theta + 1 = 0$

$\cos\theta = 0$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{19\pi}{12}$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

(3) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$