関数 $x^2 e^x$ を積分する問題です。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題の中から、(1) $x^2 e^x$ の積分を解きます。

1. 問題の内容

関数 $x^2 e^x$ を積分する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回適用します。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

まず、$u = x^2$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = 2x dx$, $v = e^x$ となります。

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int e^x (2x) dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx$

次に、$\int x e^x dx$ を部分積分で求めます。$u = x$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1$

これを最初の式に代入します。

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 (x e^x - e^x + C_1) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C$

ただし、$C = -2C_1$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$