数列 $1 + \frac{1}{2}, 3 + \frac{1}{4}, 5 + \frac{1}{8}, 7 + \frac{1}{16}, \dots$ の第 $n$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1 + \frac{1}{2}, 3 + \frac{1}{4}, 5 + \frac{1}{8}, 7 + \frac{1}{16}, \dots$ の第 $n$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

与えられた数列の第 $k$ 項は $2k-1 + \frac{1}{2^k}$ と表せる。

したがって、第 $n$ 項までの和 $S_n$ は次のように表せる。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1 + \frac{1}{2^k}) = \sum_{k=1}^{n} (2k-1) + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}$

まず、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$ を計算する。これは等差数列の和であり、

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2\frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2 + n - n = n^2$

次に、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}$ を計算する。これは等比数列の和であり、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^n})}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n}$

したがって、$S_n = n^2 + 1 - \frac{1}{2^n}$

3. 最終的な答え

$S_n = n^2 + 1 - \frac{1}{2^n}$