与えられた2つの問題について、それぞれ$\theta$と$x$の範囲を求めます。 (1) $0 \le \theta < \pi$ のとき、$\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta \le 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。 (2) $0 \le x < \pi$ のとき、$\cos 3x - 2 \cos 2x + \cos x = 0$ の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの問題について、それぞれ$\theta$と$x$の範囲を求めます。

(1) $0 \le \theta < \pi$ のとき、$\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta \le 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

(2) $0 \le x < \pi$ のとき、$\cos 3x - 2 \cos 2x + \cos x = 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ を合成します。

$\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta = 2 \sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right)$

したがって、不等式は次のようになります。

$2 \sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) \le 1$

$\sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) \le \frac{1}{2}$

ここで、$0 \le \theta < \pi$ より $-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$です。

$\sin \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) \le \frac{1}{2}$ を満たす範囲は、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$です。

したがって、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6}$より $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$です。また$\frac{5\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$より $\pi \le \theta < \pi$となり不適。

よって、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$

(2) $\cos 3x - 2 \cos 2x + \cos x = 0$ を解きます。

$\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$、$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ であることを用いると、

$4 \cos^3 x - 3 \cos x - 2(2 \cos^2 x - 1) + \cos x = 0$

$4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 2 \cos x + 2 = 0$

$2 \cos^3 x - 2 \cos^2 x - \cos x + 1 = 0$

$(\cos x - 1)(2 \cos^2 x - 1) = 0$

$(\cos x - 1)(\sqrt{2} \cos x - 1)(\sqrt{2} \cos x + 1) = 0$

したがって、$\cos x = 1$ または $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ または $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

$0 \le x < \pi$ なので、

$\cos x = 1$ より $x = 0$

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $x = \frac{\pi}{4}$

$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より $x = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$

(2) $x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$