$0 \le x \le \pi$ のとき、$\sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{2}$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、$\sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{2}$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。$\sqrt{3} \sin x + \cos x$ を $R \sin(x+\alpha)$ の形に変形します。

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$ です。

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin(x+\frac{\pi}{6})$

与えられた方程式は

$2 \sin(x+\frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$

$\sin(x+\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le x+\frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

$\frac{\pi}{6} \le x+\frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6}$ の範囲で $\sin(x+\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $x+\frac{\pi}{6}$ は $\frac{\pi}{4}$ と $\frac{3\pi}{4}$ です。

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}$ のとき、 $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4}$ のとき、 $x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$

したがって、$x = \frac{\pi}{12}$ と $x = \frac{7\pi}{12}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$