関数 $f(\theta) = \sin \theta - 2\cos \theta + \sqrt{5}$ の最大値を求め、さらに $f(\theta)$ が $\theta = \alpha$ で最大値をとるときの $\sin \alpha$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \sin \theta - 2\cos \theta + \sqrt{5}$ の最大値を求め、さらに $f(\theta)$ が $\theta = \alpha$ で最大値をとるときの $\sin \alpha$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(\theta) = \sin \theta - 2\cos \theta + \sqrt{5}$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sin \theta - 2\cos \theta$ を $R\sin(\theta + \phi)$ の形に変形することを考えます。ここで、$R = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ であり、$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$、$\sin \phi = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ となる $\phi$ が存在します。したがって、

$f(\theta) = \sqrt{5}\sin(\theta + \phi) + \sqrt{5}$

$f(\theta)$ が最大値をとるのは、$\sin(\theta + \phi) = 1$ のときです。

このとき、$f(\theta)$ の最大値は $\sqrt{5}(1) + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ となります。

次に、$f(\theta)$ が $\theta = \alpha$ で最大値をとるとき、$\sin(\alpha + \phi) = 1$ です。

$\sin(\alpha + \phi) = 1$ より、$\alpha + \phi = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)です。

$\alpha = \frac{\pi}{2} - \phi + 2n\pi$

$\sin \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \phi + 2n\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} - \phi) = \cos \phi$

$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$ でしたので、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$

3. 最終的な答え

最大値は $2\sqrt{5}$ であり、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ です。

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$