関数 $f(x) = 2\cos 2x + 2(\sqrt{3}-1)\cos x + 2 - \sqrt{3}$ について、 (1) $f(\frac{\pi}{3})$ の値を求める。 (2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $f(x) < 0$ を解く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2\cos 2x + 2(\sqrt{3}-1)\cos x + 2 - \sqrt{3}$ について、

(1) $f(\frac{\pi}{3})$ の値を求める。

(2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $f(x) < 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $f(\frac{\pi}{3})$ の値を計算する。

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$f(\frac{\pi}{3}) = 2\cos \frac{2\pi}{3} + 2(\sqrt{3}-1)\cos \frac{\pi}{3} + 2 - \sqrt{3}$

$f(\frac{\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2}) + 2(\sqrt{3}-1)(\frac{1}{2}) + 2 - \sqrt{3}$

$f(\frac{\pi}{3}) = -1 + \sqrt{3} - 1 + 2 - \sqrt{3} = 0$

(2) $f(x) < 0$ を解く。

$f(x) = 2\cos 2x + 2(\sqrt{3}-1)\cos x + 2 - \sqrt{3}$

2倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると、

$f(x) = 2(2\cos^2 x - 1) + 2(\sqrt{3}-1)\cos x + 2 - \sqrt{3}$

$f(x) = 4\cos^2 x + 2(\sqrt{3}-1)\cos x - \sqrt{3}$

$\cos x = t$ とおくと、

$4t^2 + 2(\sqrt{3}-1)t - \sqrt{3} < 0$

$(2t + \sqrt{3})(2t - 1) < 0$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < t < \frac{1}{2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で $\cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

したがって、$f(x) < 0$ となる $x$ の範囲は $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$f(\frac{\pi}{3}) = 0$

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{3}$