以下の極限を求めます。 問1: $\lim_{x \to +0} \frac{1}{x}$ 問2: $\lim_{x \to +0} 3^x$ 問3: $\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^2}$ 問4: $\lim_{x \to 0} \sin x$ 問5: $\lim_{x \to -1} (x^2 - 2x - 3)$ 問6: $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x^2})$ 問7: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1}$ 問8: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2} - x)$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

問1: $\lim_{x \to +0} \frac{1}{x}$

問2: $\lim_{x \to +0} 3^x$

問3: $\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^2}$

問4: $\lim_{x \to 0} \sin x$

問5: $\lim_{x \to -1} (x^2 - 2x - 3)$

問6: $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x^2})$

問7: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1}$

問8: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2} - x)$

2. 解き方の手順

問1: $x$ が正の方向から 0 に近づくとき、$\frac{1}{x}$ は正の無限大に発散します。

問2: $x$ が 0 に近づくとき、$3^x$ は $3^0 = 1$ に近づきます。

問3: $x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x^2}$ は 0 に近づくので、 $-\frac{1}{x^2}$ も 0 に近づきます。

問4: $x$ が 0 に近づくとき、$\sin x$ は 0 に近づきます。

問5: 関数 $x^2 - 2x - 3$ は連続なので、$x$ が -1 に近づくときの極限は、関数に -1 を代入することで求められます。 $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$

問6: $x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x^2}$ は 0 に近づくので、$1 + \frac{1}{x^2}$ は $1 + 0 = 1$ に近づきます。

問7: 分子と分母を $x$ で割ると、$\frac{x + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ となります。$x$ が無限大に近づくとき、$\frac{3}{x}$ と $\frac{1}{x}$ は 0 に近づくので、この式は $\frac{x}{1}$ に近づき、正の無限大に発散します。

問8: $\sqrt{x^2 + 2} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 2} - x)(\sqrt{x^2 + 2} + x)}{\sqrt{x^2 + 2} + x} = \frac{x^2 + 2 - x^2}{\sqrt{x^2 + 2} + x} = \frac{2}{\sqrt{x^2 + 2} + x}$ と変形できます。

$x$ が無限大に近づくとき、$\sqrt{x^2 + 2} + x$ も無限大に近づくので、$\frac{2}{\sqrt{x^2 + 2} + x}$ は 0 に近づきます。

3. 最終的な答え

問1: $\infty$

問2: 1

問3: 0

問4: 0

問5: 0

問6: 1

問7: $\infty$

問8: 0