与えられた関数 $y = \frac{(2x+3)^2}{(x-1)^3}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{(2x+3)^2}{(x-1)^3}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分法則と連鎖律を利用して解きます。

商の微分法則は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

で与えられます。

ここで、$u(x) = (2x+3)^2$、$v(x) = (x-1)^3$ とおきます。

まず、$u'(x)$ を求めます。連鎖律より、

$u'(x) = 2(2x+3) \cdot 2 = 4(2x+3) = 8x + 12$

次に、$v'(x)$ を求めます。連鎖律より、

$v'(x) = 3(x-1)^2 \cdot 1 = 3(x-1)^2$

商の微分法則に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(8x+12)(x-1)^3 - (2x+3)^2 \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}$

$(x-1)^2$ で分子をくくり出すと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)^2 [(8x+12)(x-1) - 3(2x+3)^2]}{(x-1)^6}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(8x+12)(x-1) - 3(4x^2+12x+9)}{(x-1)^4}$

分子を展開すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{8x^2+4x-12 - 12x^2 - 36x - 27}{(x-1)^4}$

分子を整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x^2 - 32x - 39}{(x-1)^4}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^2 + 32x + 39}{(x-1)^4}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^2 + 32x + 39}{(x-1)^4}$