関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

この関数は積の形をしているので、積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

ここで、$u = x^2 + 1$、$v = 5^{x^3}$ とおく。

まず、$u$ の導関数 $u'$ を求める。

$u' = (x^2 + 1)' = 2x$

次に、$v$ の導関数 $v'$ を求める。

$v = 5^{x^3}$ なので、合成関数の微分公式を用いる。

$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$ より、

$\frac{d}{dx} 5^{x^3} = 5^{x^3} \ln 5 \cdot (x^3)' = 5^{x^3} \ln 5 \cdot 3x^2 = 3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3}$

したがって、$v' = 3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3}$

積の微分公式より、

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1)(3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3}) = 2x \cdot 5^{x^3} + 3x^2(x^2+1) \ln 5 \cdot 5^{x^3}$

$y' = 5^{x^3} (2x + 3x^2(x^2+1)\ln 5)$

$y' = 5^{x^3} (2x + (3x^4 + 3x^2) \ln 5)$

3. 最終的な答え

$y' = 5^{x^3} (2x + (3x^4 + 3x^2) \ln 5)$