$\lim_{x \to 0} (1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、まず $y = (1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$ と置き、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (1 - 3x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln(1 - 3x)$

次に、$x \to 0$ のときの $\ln y$ の極限を考えます。

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - 3x)}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - 3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-3}{1 - 3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{-3}{1 - 3x} = \frac{-3}{1 - 0} = -3$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \ln y = -3$

$\ln (\lim_{x \to 0} y) = -3$

$\lim_{x \to 0} y = e^{-3}$

よって、$\lim_{x \to 0} (1 - 3x)^{\frac{1}{x}} = e^{-3}$

3. 最終的な答え

$e^{-3}$