極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = t$ と置換すると、$x = t+1$ であるから、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ となる。よって、

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\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{1-e^{2(t+1)-2}} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{1-e^{2t}}

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ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{e^{2t}-1}{2t} = 1$ であるから、

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\lim_{t \to 0} \frac{t}{1-e^{2t}} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1-e^{2t}}{t}} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{-(e^{2t}-1)}{t}} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{-2\frac{e^{2t}-1}{2t}} = \frac{1}{-2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}

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また、ロピタルの定理を使うこともできる。

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるから、ロピタルの定理より

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\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(x-1)}{\frac{d}{dx}(1-e^{2x-2})} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{-2e^{2x-2}} = \frac{1}{-2e^{2(1)-2}} = \frac{1}{-2e^0} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$