$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用する。

与えられた式を以下のように変形する。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$ より、$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} = 1$である。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$