問題は、$\lim_{x \to \infty} x \sin{\frac{1}{2x}}$ の極限を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$\lim_{x \to \infty} x \sin{\frac{1}{2x}}$ の極限を求めることです。

2. 解き方の手順

$\theta = \frac{1}{2x}$ と置換します。 $x \to \infty$ のとき $\theta \to 0$ となります。

また、$x = \frac{1}{2\theta}$ となります。

したがって、求める極限は、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1}{2\theta} \sin \theta = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{2\theta} = \frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$

ここで、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を用いると、

$\frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$