与えられた関数の極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理またはテイラー展開を利用することができます。ここでは、テイラー展開を用いて解いていきます。

$e^x$ の $x=0$ におけるテイラー展開は次の通りです。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

これを利用して、$e^{2x}$ と $e^{-x}$ をテイラー展開すると、

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + ... = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + ...$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{(-x)^2}{2!} + \frac{(-x)^3}{3!} + ... = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + ...$

これらを元の式に代入します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + ...) - (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + ...)}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{3x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{6}x^3 + ...}{x}$

$= \lim_{x \to 0} (3 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}x^2 + ...)$

$x \to 0$ のとき、$\frac{3}{2}x, \frac{3}{2}x^2, ...$ は全て $0$ に近づくため、

$\lim_{x \to 0} (3 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}x^2 + ...) = 3$

したがって、極限は $3$ となります。

3. 最終的な答え

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