$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用する。

$\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}$ を $\frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}$ と変形する。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x}$ において $\sin x = t$ と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

また、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ より $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}$

$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

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